20250124 이것이 코딩 테스트다 챕터10(그래프)

그래프 알고리즘

앞서 봤던 DFS/BFS, 최단 경로에서 다룬 내용 모두 그래프 알고리즘의 한 유형.

그래프란?

노드와 노드 사이에 연결된 간선 사이의 정보를 가지고 있는 자료구조.

‘서로 다른 개체(혹은 객체)가 연결되어 있다’ -> 그래프 알고리즘 떠올려야 됨.
ie. ‘여러 개의 도시가 연결되어 있다’ -> 💡그래프 알고리즘!

트리 자료구조

그래프 자료구조 중에서 트리 자료구조는 다양한 알고리즘에서 사용되므로 꼭 기억할 것!

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 ‘우선순위 큐’가 사용되었음.
그리고 우선순위 큐를 구현하기 위해 최소 힙이나 최대 힙을 이용할 수 있는데,
최소 힙은 항상 부모 노드가 자식 노드보다 크기가 작은 자료구조로서 트리 자료구조에 속함.

트리 자료구조는 부모에서 자식으로 내려오는 계층적인 모델에 속한다.
이걸 그래프와 비교해보면,

| | 그래프 | 트리 | | | — | — | | 방향성 | 방향 그래프 혹은 무방향 그래프 | 방향 그래프 | | 순환성 | 순환 및 비순환 | 비순환 | | 루트 노드 존재 여부 | 루트 노드가 없음 | 루트 노드가 존재 | | 노드간 관계성 | 부모와 자식 관계 없음 | 부모와 자식 관계 | | 모델의 종류 | 네트워크 모델 | 계층 모델 |

그래프 구현 방법

• 인접 행렬 : 2차원 배열을 사용하는 방식
• 인접 리스트 : 리스트를 사용하는 방식
  

인접 행렬

노드 개수 V, 간선 개수 E인 그래프에서 간선 정보를 저장하기 위해 O(V^2)만큼의 메모리 공간 필요.
특정 노드 A에서 다른 특정 노드 B로 이어진 간선 비용을 O(1)의 시간으로 즉시 알 수 있음.

ex. 플로이드 워셜 알고리즘
모든 노드에 대하여 다른 노드로 가는 최소 비용을 V^2 크기의 2차원 리스트에 저장한 뒤, 해당 비용을 갱신해서 최단 거리를 계산했음.

인접 리스트

노드 개수 V, 간선 개수 E인 그래프에서 간선의 개수만큼인 O(E)만큼만 메모리 공간 필요.
특정 노드 A에서 다른 특정 노드 B로 이어진 간선 비용을 알려면 O(V)만큼의 시간 소요.

ex. 우선순위 큐 이용하는 다익스트라 최단 경로 알고리즘
노드 개수 V개일 때, V개의 리스트 만들어서 각 노드와 연결된 모든 간선에 대한 정보를 리스트에 저장했음.

최단 경로 찾아야 하는 문제에서,
노드 개수 적다 -> 플로이드 워셜 알고리즘 사용
노드와 간선 개수 모두 많다 -> 우선순위 큐 이용하는 다익스트라 알고리즘 사용

서로소 집합

서로소 집합 : 공통 원소가 없는 두 집합

서로소 집합 자료구조

서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

조작 : union과 find 두개의 연산으로 조작

1. union
   합집합. 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산.
   

2. find
   찾기. 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산.
   
   

이렇게 두가지 연산으로 구성되기 때문에 서로소 집합 자료구조는 union-find 자료구조(합치기 찾기)라고 불리기도 한다.
두 집합이 서로소 관계인지를 확인할 수 있다는 말은 각 집합이 어떤 원소를 공통으로 가지고 있는지를 확인할 수 있다는 말과 같기 때문이기도 해서.

구현

트리 자료구조 이용해 집합 표현.

트리를 이용해 서로소 집합을 계산하는 알고리즘은 다음과 같다.

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인
   1-1. A와 B의 루트 노드 A’, B’을 각각 찾는다.
   1-2. A’를 B’의 부모 노드로 설정한다(B’이 A’을 가리키도록 한다).
   
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.
   

• 이때, A’와 B’ 중에서 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 많으므로, A’이 1이고, B’이 3이면 B’이 A’을 가리키도록 설정한다.
  
• 가리킨다는 것은 부모 노드로 설정한다는 것이다. 자식이 부모노드를 카리킨다. B’이 A’을 가리킨다는 것은 A’이 부모 노드라는 것을 의미한다.
  
• 부모 테이블을 항상 가지고 있어야 한다.
  
• 최종적인 루트 노드를 확인할 때는 재귀적으로 부모를 거슬러 올라가야 한다.
  

소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end = ' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end = ' ')

이 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인해야 해서 시간 복잡도 O(V)로 비효율적임.
결과적으로 노드 개수 V, find 혹은 union 연산의 개수가 M개일 때, 시간 복잡도는 O(VM)이 되어 비효율적.

경로 압축 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있음.
find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블값을 갱신하는 기법.
기존의 find 함수를 경로 압축 기법을 사용해서 변경하면 다음과 같다.

def find_parent(parent, x):
  if parent[x] != x:
    parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  return parent[x]

이렇게 수정하면 각 노드에 대해 find 함수를 호출한 이후, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.
루트 노드에 더 빠르게 접근할 수 있기 때문에 시간 복잡도가 개선된다.

개선된 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
  # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  if parent[x] != x:
    parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
  return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end = ' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end = ' ')

노드 개수 V개, 최대 V-1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때 시간 복잡도 O(V + M(1 + log(2-M/V)V))
ex. 노드 개수 1,000개, union 및 find 연산이 총 100만 번 수행되면, 1,000만 번 가량의 연산이 필요하다

사이클 판별

서로소 집합은 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다는 특징을 가진다.
cf. 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별.

union 연산은 그래프에서의 간선으로 표현될 수 있고, 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하는 것만으로도 사이클을 판별할 수 있음.

사이클을 판별하는 알고리즘은 다음과 같다

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다
   1-1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다
   1-2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.
   
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.
   

이러한 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다.
이 알고리즘은 간선에 방향성이 없는 무향 그래프에서만 적용 가능하다.

소스코드

특정 원소가 속한 집합을 찾기

def find_parent(parent, x): # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출 if parent[x] != x: parent[x] = find_parent(parent, parent[x]) return parent[x]

두 원소가 속한 집합을 합치기

def union_parent(parent, a, b): a = find_parent(parent, a) b = find_parent(parent, b) if a < b: parent[b] = a else: parent[a] = b

노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기

v, e = map(int, input().split()) parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화

for i in range(1, v + 1): parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e): a, b = map(int, input().split()) # 사이클이 발생한 경우 종료 if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b): cycle = True break # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행 else: union_parent(parent, a, b)

if cycle: print(‘사이클이 발생했습니다.’) else: print(‘사이클이 발생하지 않았습니다.’)

주황형광펜 밑줄


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