20250204 이것이 코딩 테스트다 챕터10(그래프)
신장 트리
Spanning Tree. 그래프 알고리즘 문제로 자주 출제되는 문제 유형.
하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프.
모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하기 때문에 이런 그래프를 신장 트리라고 부르는 것이다.
일종의 트리 자료구조이므로, 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선 개수 = 노드의 개수 - 1
🧐 사이클이 존재한다?
어떤 노드를 방문하는 방법이 여러가지일 때 사이클이 존재한다고 한다.
크루스칼 알고리즘
대표적 최소 신장 트리 알고리즘.
신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘 = 최소 신장 트리 알고리즘.
크루스칼 알고리즘을 사용하면 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있고, 먼저 모든 간선에 대해 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키기 때문에 그리디 알고리즘으로 분류됨.
이때, 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않는다.
즉, 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가. 다만 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결.
이렇게 하면 항상 최적의 해를 보장할 수 있음.
구현 방법
- 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
- 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
2-1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함.
2-2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음. - 모든 간선에 대하여 2번 과정 반복.
소스코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)
# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)
시간 복잡도
간선 개수 E개일 때, O(ElogE).
간선 정렬하는 작업이 가장 오래 걸리기 때문에.
위상 정렬
Topology Sort.
정렬 알고리즘의 일종으로, 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘.
-> 방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것’
현실세계 예) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정.
진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 ‘들어오는’ 간선의 개수.
ex. 알고리즘의 선수과목 자료구조, 고급 알고리즘의 선수과목 자료구조와 알고리즘이면, 고급 알고리즘 노드는 2개의 선수과목을 가지므로 진입차수 2.
구현 방법
- 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
- 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
2-1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
2-2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
-
모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다는 뜻이다. 즉, 큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생한 것이다. 사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문에.
-
기본적으로 위상 정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 더 많다.
-
위상 정렬 문제는 여러 가지 답이 존재 할 수 있다.
소스코드
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end = ' ')
topology_sort()
시간 복잡도
O(V+E).
차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 됨. 따라서 노드와 간선을 모두 확인하므로 O(V+E).
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